Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：v(x)=

50，0≤x≤20 kx+60，20＜x≤120

（k∈R）．研究表明：当桥上的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（1）求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由桥上的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时，求出k，即可求函数v（x）的表达式；
（2）利用f（x）=x•v（x），可得函数解析式，再分段求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意：120k+60=0，解得k=-

1

2

．
故函数v（x）的表达式为v(x)=

50，0≤x≤20 - 1 2 x+60，20＜x≤120

…（4分）
（2）依题意并由（Ⅰ）可得f(x)=

50x，0≤x≤20 (- 1 2 x+60)x，20＜x≤120

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为50×20=1000；
当20＜x≤120时，f(x)=-

1

2

(x-60)2+1800，
所以，当x=60时，f（x）在区间[20，120]上取得最大值1800．
综上所述，当车流密度为60辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为1800辆/小时．…（10分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查学生阅读能力，解题的关键是分段求出函数解析式．