Question

7．已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程．
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．

Answer 1

分析 （1）由已知中圆C过点P（1，1），且圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，我们可以求出圆C的方程，然后判断圆心距CM与两圆半径和与差的关系，即可得到答案；
（2）由已知中直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

解答 解：（1）由题意可得点C和点M（-2，-2）关于直线x+y+2=0对称，
且圆C和圆M的半径相等，都等于r．
设C（m，n），由$\frac{m+2}{n+2}$•（-1）=-1，
且 $\frac{m-2}{2}$+$\frac{n-2}{2}$+2=0，
求得 $\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，
故原C的方程为x²+y²=r²．
再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r=$\sqrt{2}$，
故圆的方程为 x²+y²=2．
（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得x_A=$\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$．
同理，所以x_B=$\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$．
由于AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}-1）-k（{x}_{A}-1）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$
=$\frac{2k-k（{x}_{A}+{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1=k_OP （OP的斜率），
所以，直线AB和OP一定平行．

点评 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，考查运算能力，属于中档题．