【题目】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3).
(2) 存在实数使f(x)的最小值为0.
【解析】分析:(1)根据f(1)=1代入函数表达式,解出a=﹣1,再代入原函数得f(x)=log4(﹣x2+2x+3),求出函数的定义域后,讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性,即可得函数f(x)的单调区间;
(2)先假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,根据函数表达式可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立,且真数t的最小值恰好是1,再结合二次函数t=ax2+2x+3的性质,可列出式子:,由此解出a=
,从而得到存在a的值,使f(x)的最小值为0.
详解:(1)∵f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1,
∴log4(a12+2×1+3)=1a+5=4a=﹣1
可得函数f(x)=log4(﹣x2+2x+3)
∵真数为﹣x2+2x+3>0﹣1<x<3
∴函数定义域为(﹣1,3)
令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4
可得:当x∈(﹣1,1)时,t为关于x的增函数;
当x∈(1,3)时,t为关于x的减函数.
∵底数为4>1
∴函数f(x)=log4(﹣x2+2x+3)的单调增区间为(﹣1,1),单调减区间为(1,3)
(2)设存在实数a,使f(x)的最小值为0,
由于底数为4>1,可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立,
且真数t的最小值恰好是1,
即a为正数,且当x=﹣=﹣
时,t值为1.
∴a=
因此存在实数a=,使f(x)的最小值为0.
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【题目】已知点,
,点
为曲线
上任意一点且满足
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线与
轴交于
两点,点
是曲线
上异于
的任意一点,直线
分别交直线
:
于点
,试问
轴上是否存在一个定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了研究黏虫孵化的平均温度(单位:
)与孵化天数
之间的关系,某课外兴趣小组通过试验得到以下6组数据:
他们分别用两种模型①,②
分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图:
经过计算,
,
,
.
(1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,应选择哪个模型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据,需要剔除,剔除后应用最小二乘法建立关于
的线性回归方程.(精确到
).
参考公式:线性回归方程中,
,
.
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【题目】给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列{an}的一个m阶子数列.
已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N* , a为常数),等差数列a2 , a3 , a6是数列{an}的一个3子阶数列.
(1)求a的值;
(2)等差数列b1 , b2 , …,bm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,且b1= (k为常数,k∈N* , k≥2),求证:m≤k+1
(3)等比数列c1 , c2 , …,cm是{an}的一个m(m≥3,m∈N*)阶子数列,求证:c1+c1+…+cm≤2﹣ .
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【题目】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn= ﹣
(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlog3an , 求数列{bn}的前n项和.
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【题目】在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:
表一:男生
表二:女生
(1)从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈,求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;
(2)由表中统计数据填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】已知曲线为参数),
为参数).
(1)化的参数方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点
对应的参数为
为
上的动点,求
的中点
到直线
为参数)距离的最小值.
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【题目】求经过直线L1:3x + 4y – 5 = 0与直线L2:2x – 3y + 8 = 0的交点M,且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2x + y + 5 = 0平行 ;
(2)与直线2x + y + 5 = 0垂直;
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