Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足①++=0,②||=||=||，③∥.

(1)求顶点C的轨迹E的方程；

(2)设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（2，0），已知∥，∥且·=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

Answer 1

解析：(1)设C（x,y）,

∵+=2,由①知=-2，

∴G为△ABC的重心，

∴G().

由②知M是△ABC的外心，

∴M在x轴上.

由③知M（，0），

由||=||,

得，

化简整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰为+y²=1的右焦点,

设PQ的斜率为k≠0且k≠±,则直线PQ的方程为y=k(x-),

由(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.

设P（x₁,x₂）,Q(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁∶x₂=.则|PQ|=

.

∵RN⊥PQ,把k换成-得|RN|=,

∴S=|PQ|·|RN|=,

∴3(k²+)+10=.

∵k²+≥2,

∴≥16,

∴≤S＜2(当k=±1时取等号).

又当k不存在或k=0时S=2，

综上可得≤S≤2,

∴S_max=2,S_min=.