Question

15．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BB₁=2，且AB⊥AC，D为BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D，并求出中三棱锥B-AC₁D的体积；
（2）在BB₁上是否存在一点M，使得DM⊥平面AC₁D，若存在，请确定M点位置并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C交AC₁ 于O，则O为A₁C的中点，又D为BC的中点，连接OD，则OD∥A₁B，由三角形中位线定理可得OD∥A₁B，再由线面平行的判定得A₁B∥平面AC₁D；然后利用等积法求三棱锥B-AC₁D的体积；
（2）由（1）知，AD⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁中，过D作DM⊥DC₁，交BB₁于M，可得DM⊥平面AC₁D，然后利用求解直角三角形得到M点位置．

解答 （1）证明：连接A₁C交AC₁ 于O，则O为A₁C的中点，
又D为BC的中点，连接OD，则OD∥A₁B，
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
由题意可知，AD⊥平面BCC₁，
∵AB=AC=2，AB⊥AC，
∴AD=$\sqrt{2}$，又四边形BCC₁B₁为长方形，且BB₁=2，$BC=2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2=\sqrt{2}$，
∴${V}_{B-A{C}_{1}D}={V}_{A-BD{C}_{1}}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$；
（2）解：由（1）知，AD⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁中，过D作DM⊥DC₁，交BB₁于M，
则DM⊥AD，∴DM⊥平面AC₁D，
设BM=x，则B₁M=2-x，
∴$D{M}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}={C}_{1}{M}^{2}$，即x²+2+2+4=（2-x）²+8，解得：x=1．
∴在BB₁上是否存在一点M，使得DM⊥平面AC₁D，此时M为BB₁的中点．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．