Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），则数列{${\frac{1}{a_n}}$}的前2015项的和为$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），
∴n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{${\frac{1}{a_n}}$}的前2015项的和=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）]$
=2×$（1-\frac{1}{2016}）$
=$\frac{2015}{1008}$．
故答案为：$\frac{2015}{1008}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．