Question

20．设向量$\overrightarrow{a}$=（cos25°，sin25°），$\overrightarrow{b}$=（cos70°，sin70°）若t是实数，且向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用向量的数乘及坐标加法运算求出$\overrightarrow{c}$的坐标，代入向量模的公式，利用配方法求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos25°，sin25°），$\overrightarrow{b}$=（cos70°，sin70°），
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（cos25°+tcos70°，sin25°+tsin70°）=（cos25°+tsin20°，sin25°+tcos20°），
则|$\overrightarrow{t}$|=$\sqrt{1+{t}^{2}+2tsin45°}$=$\sqrt{{t}^{2}+\sqrt{2}t+1}=\sqrt{（t+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，训练了配方法求最值，是中档题．