Question

已知函数f（x）=x³-3ax+b（a，b为实常数）．
（Ⅰ）若a=

1

3

，b=2，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当b=0时，设g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值H（a）．

Answer 1

分析：（I）先确定函数的表达式，然后求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由直线的方程求出切线方程即可；
（II）研究g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函数，所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值问题即可，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

3

，b=2时，f（x）=x³-x+2，∴f（1）=2，f′（x）=3x²-1．
∴曲线y=f（x）在点（1，2）处切线斜率为f′（1）=2，（2分）
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x．（3分）
（Ⅱ）显然g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函数，
所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-a），
①a＜0时，f（x）在[0，1]上为增函数，∴f（x）≥f（0）=0．
∴f（x）=g（x），∴H（a）=f（1）=1-3a．（5分）
②a＞0时，则在[0，1]上f′(x)=3(x+

a

)(x-

a

)．
（i）

a

≥1即a≥1时，则在[0，1]上f（x）为减函数，
∴f（x）≤f（0）=0，∴g（x）=-f（x），
∴H（a）=-f（1）=3a-1．（7分）
（ii）0＜a＜1时，则在[0，1]上f′(x)=3(x+

a

)(x-

a

)．

则可以画出g（x）的草图如下，并且由图可知：

当

a

＜1≤2

a

即

1

4

≤a＜1时，g（x）的最大值H(a)=-f(

a

)=2a

a

当1＞2

a

即0＜a＜

1

4

时，g（x）的最大值H（a）=f（1）=1-3a
综上所述：H(a)=

1-3a(a＜ 1 4 ) 2a a ( 1 4 ≤a＜1) 3a-1(a≥1)

．（12分）．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．