Question

已知函数f（x）=log_a

2-x

2+x

．求：
（1）f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明，
（3）求f（x）＞0的解集．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由对数函数的定义求出函数f（x）的定义域，（2）根据函数的奇偶性的定义进行判断即可；（3）分别讨论a＞1，0＜a＜1时的情况，再解不等式．

解答： 解：（1）∵

2-x

2+x

＞0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）的定义域为（-2，2）
（2）f（x）为定义域上的奇函数，
∵f（x）的定义域为（-2，2），关于原点对称．
f(-x)+f(x)=loga

2+x

2-x

+loga

2-x

2+x

=loga

2+x

2-x

•

2-x

2+x

=loga1=0，
∴f（x）在（-2，2）上为奇函数． 
（3）a＞1时，f（x）＞0，
则

2-x

2+x

＞1⇒-2＜x＜0，
f（x）＞0的解集为（-2，0）
0＜a＜1时，f（x）＞0，
则0＜

2-x

2+x

＜1⇒0＜x＜2，
f（x）＞0的解集为（0，2）．
∴a＞1时，f（x）＞0的解集为（-2，0）
0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（0，2）．

点评：本题考查了函数的定义域问题，对数函数的定义，函数的奇偶性，考查分类讨论，是一道中档题．