Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC，点D为BC中点．
（1）求二面角A-PD-B的余弦值；
（2）在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD；
所成角的正弦值为

1

6

，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知△PCA全等△PCB，PC⊥平面ACB，PC，CA，CB两两垂直，分别以CB，CA，CP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角A-PD-B的平面角的余弦值．
（2）存在，M是AB的中点或A是MB的中点，设

AM

=λ

AB

，由此能求出M是AB的中点或A是MB的中点．

解答： 解：（1）∵AC=BC，PA=PB，PC=PC，
∴△PCA全等△PCB，∴PC⊥平面ACB，
∴PC，CA，CB两两垂直，…（2分）
故以C为坐标原点，
分别以CB，CA，CP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（0，2，0），
D（1，0，0），
P（0，0，2），

AD

=（1，-2，0），

PD

=（1，0，-2），
设平面PAD的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AD =x-2y=0 n • PD =x-2z=0

，取x=2，得

n

=（2，1，1），
平面PDB的一个法向量为

CA

=（0，2，0），
∴cos＜

n

，

CA

＞=

6

6

，
设二面角A-PD-B的平面角为θ，
∵θ是钝角，∴cosθ=-

6

6

．…（6分）
（2）存在，M是AB的中点或A是MB的中点
设

AM

=λ

AB

，则M（2λ，2-2λ，0），
∴|sin＜

PM

，

n

＞|=

|2λ|

(2λ)2+(2-2λ)2+4 • 6

=

1

6

，
解得λ=

1

2

或λ=-1，
∴M是AB的中点或A是MB的中点．…（12分）

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．