Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设[ln（1+ax）]′=

a

1+ax

，[ln（1-ax）]′=

-a

1-ax

，证明：当a＞0且0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（I）由已知得f′(x)=

1

x

-2ax+(2-a)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，由此利用导数性质能求出f（x）的单调性．（II）设g(x)=f(

1

a

+x)-f(

1

a

-x)，则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，由此利用导数性质能证明当a＞0且0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）．

解答： （I）解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-2ax+(2-a)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，
①若a≤0，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调增加；
②若a＞0，则由f'（x）=0得x=

1

a

，
且当x∈(0，

1

a

)时，f'（x）＞0，
当x＞

1

a

时，f'（x）＜0，
所以f（x）在(0，

1

a

)单调增加，在(

1

a

，+∞)单调减少．
（II）证明：设g(x)=f(

1

a

+x)-f(

1

a

-x)，
则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，

1 a +x＞0 1 a -x＞0 0＜x＜ 1 a a＞0

⇒0＜x＜

1

a

g′(x)=

a

1+ax

+

a

1-ax

-2a=

2a3x2

1-a2x2

，
当0＜x＜

1

a

时，g'（x）＞0，g（x）单增，
而g（0）=0，所以g（x）＞0．
故当0＜x＜

1

a

时，f(

1

a

+x)＞f(

1

a

-x)．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．