Question

已知数列{a_n}的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，（3分）
∴，
∴数列为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）
若S_n＜100，则，∴n_max=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵，∴．（12分）
化简得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
分析：（1）根据a_n+1和a_n关系式进行化简，
（2）先由（1）得出数列{}的通项公式，然后根据分组方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化简，再根据a+b≥2，确定是否存在．
点评：本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法，综合性很强，本题要注意a+b≥2运用，本题有一定难度．