Question

8．定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0）上是减函数且f（1）=0，则不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集为$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性分析可得函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，进而可以将不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$转化为|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，解可得x的取值范围．

解答 解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，
则函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
若$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$，则|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，
即|log₂x|＞log₂2，
解可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，
即不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集为$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}；
故答案为：$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，注意对数函数定义域．