Question

20．已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数的极值和导数的关系求出函数的极大值，进行判断．

解答 解：函数的导数f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x
（Ⅰ）若a=-1，则f′（x）=（x²+x-2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）由f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x=0得x²+（a+2）x+2a=0，解得x=-2或x=-a，
当a=2时，f′（x）=（x+2）²e^x＞0，此时函数单调递增，故无极值，
当a＜2时，x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

则当x=-2时，函数取得极大值f（-2），
由f（-2）=3得a=4-3e²．
故存在a=4-3e²．

点评 本题主要考查导数的几何意义，以及函数极值的求解，求函数的导数，利用导数进行研究是解决本题的关键．