Question

10．已知函数f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的图象经过点（2，3），a为常数．
（1）求a的值和函数f（x）的定义域；
（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；
（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的图象经过点（2，3），
∴2+$\frac{1}{2-a}$=3，解得a=1；
∴f（x）=2+$\frac{1}{x-1}$，且x-1≠0，则x≠1，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；
（2）用函数单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数如下；
设1＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（2+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$）-（2+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了函数的单调性定义与证明问题，是基础题．