Question

已知F₁，F₂分别为椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率e=

3

2

，过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF₂的周长为8
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的周长和椭圆的定义求得a，进而根据离心率求得c，则b可求，椭圆的方程可得．
（2））①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立根据判别式大于0求得k和t的不等式关系，利用伟大定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出

OA

和

OB

，根据OA⊥OB推断

OA

•

OB

=0求得k和t的关系式，继而根据为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，求得圆的半径，圆的方程可得．
②当切线的斜率不存在时，则可求得切线方程与椭圆方程联立求得交点，进而判定存在圆心在原点的圆x2+y2=

4

5

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

解答：解：（1）据题意，∵△MNF₂的周长为8，故4a=8，∴a=2
又e=

c

a

=

3

2

，∴a2=4，b2=1，c2=3，∴椭圆方程

x2

4

+y2=1．
（2）①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程组

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x2+4(kx+t)2=4，即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，
则使△64k²t2-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

，y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x1x2+y1y2=0，即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=

|t|

1+k2

，r2=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圆为x2+y2=

4

5

.
②当切线的斜率不存在时，
切线为x=±

2

5

5

，与

x2

4

+y2=1交于点(

2

5

5

，±

2

5

5

)或(-

2

5

5

，±

2

5

5

)满足．
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=

4

5

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生运用所学知识综合分析问题的能力．