Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E为PD 的中点，O为AC与BD的交点；
①求证：PB∥平面EAC；
②求异面直线BC与PD所成角的大小．

Answer 1

分析：①利用线面平行的判定定理证明．
②利用异面直线所成角的定义求夹角．

解答：解；①证明：连接OE
∵底面ABCD为正方形
∴BO=DO
∴O为BD的中点，E为PD的中点
在△PDB中，OE为中位线，
因为PB∥OE，
OE?面EAC，PB?面EAC，
所以PB∥平面EAC．
②因为AD∥BC，所以AD与PD所成的角即为异面直线BC与PD所成角．
因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD，
又PA=AB=AD，
所以三角形PDA为等腰直角三角形，
所以∠PDA=45°，即异面直线BC与PD所成角的大小为45°．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定依据空间异面直线所成的角，要求熟练掌握相关的定理．