Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线θ=$\frac{π}{6}$与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）先将直线参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程；
（II）将$θ=\frac{π}{6}$分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，取差得出|AB|．

解答 解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ²=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x=0．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），∴$\sqrt{3}x$-y=4$\sqrt{3}$，
∴直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ=4$\sqrt{3}$．
（II）将$θ=\frac{π}{6}$代入曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ得ρ=$\sqrt{3}$，∴A点的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
将θ=$\frac{π}{6}$代入直线l的极坐标方程得$\frac{3}{2}ρ$-$\frac{1}{2}$ρ=4$\sqrt{3}$，解得ρ=4$\sqrt{3}$．∴B点的极坐标为（4$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
∴|AB|=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．