Question

13．已知数列{a_n}，S_n为其前n项的和，满足S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时R_n-1=n（T_n-1）；
（3）已知当n∈N*，且n≥6时有（1-$\frac{m}{n+3}$）ⁿ＜（$\frac{1}{2}$）^m，其中m=1，2，…，n，求满足3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（a_n+3）^a_n的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）法一：直接计算化简即可证明；
法二：利用数学归纳法即可证明．
（3）利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出．

解答 （1）解：当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}=n$，
又∵a₁=S₁=1，∴a_n=n．
（2）证明：＜法一＞：∵$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n}$，∴${T_n}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$，
∴${R_{n-1}}=1+（1+\frac{1}{2}）+（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+…+（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n-1}）$=$（n-1）•1+（n-2）•\frac{1}{2}+（n-3）•\frac{1}{3}+…+1•\frac{1}{n-1}$
=$n（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-1+\frac{1}{n}）=n（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-1）=n（{T_n}-1）（n≥2）$．
＜法二＞：数学归纳法
①n=2时，${R_1}={T_1}=\frac{1}{a_1}=1$，$2（{T_2}-1）=2（\frac{1}{{a_1^{\;}}}+\frac{1}{a_2}-1）=1$，
②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R_k-1=k（T_k-1），
当n=k+1时，${R_k}={R_{k-1}}+{T_k}=k（T_k^{\;}-1）+{T_k}=（k+1）{T_k}-k=（k+1）（{T_{k+1}}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）-k$=$（k+1）（{T_{k+1}}-1+1-\frac{1}{k+1}）-k=（k+1）（{T_{k+1}}-1）$，
∴n=k+1是原式成立
由①②可知当n≥2，n∈N*时R_n-1=n（T_n-1）．
（3）解：∵${（1-\frac{m}{n+3}）^n}＜{（\frac{1}{2}）^m}$，m=1，2，…，n．
$\left.{\begin{array}{l}{m=1时，（\frac{n+2}{n+3}{）^n}＜\frac{1}{2}}\\{m=2时，（\frac{n+1}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^2}}\\{m=3时，（\frac{n}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^3}}\\…\\{m=n-1时，（\frac{4}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}\\{m=n时，（\frac{3}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^n}}\end{array}}\right\}$⇒相加得，${（\frac{n+2}{n+3}）^n}+{（\frac{n+1}{n+3}）^n}+…+{（\frac{4}{n+3}）^n}+{（\frac{3}{n+3}）^n}＜\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^n}$，
∵$\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}＜1$，
∴3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，
∴n≥6时，∴3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ无解，
又当n=1时；3＜4，n=2时，3²+4²=5²；n=3时，3³+4³+5³=6³n=4时，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴为偶数，而7⁴为奇数，不符合n=5时，3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵为奇数，而8⁵为偶数，不符合．
综上所述n=2或者n=3．

点评 本题考查了递推关系、学归纳法、“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．