Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）且存在实数k和t，使得x=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，y=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$且x⊥y，试求t³-3t-4k的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算，求出${\overrightarrow{a}}^{2}$、${\overrightarrow{b}}^{2}$与$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再由$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，代入化简即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${（-\sqrt{3}）}^{2}$+1²=4，
${\overrightarrow{b}}^{2}$=${（\frac{1}{2}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=1，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0；
又$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，
且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，
∴[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0，
即-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+[t-k（t²-3）]$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+t（t²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴-k×4+[t-k（t²-3）]×0+t（t²-3）×1=0，
∴t³-3t-4k=0．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的垂直与数量积的应用问题，是基础题目．