Question

【题目】如图，△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，AD与BE交于点P，设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设直线AX与EF的交点为M，直线BY与FD的交点为N，直线CZ与DE的交点为L，直线PA与EF的交点为R，直线PB与FD的交点为S，直线PC与DE的交点为T.

由直线束EA、EF、EB、ED为调和线束，知A、R、P、D成调和点列，且EF为∠AXP的平分线.故DM⊥EF.

类似地，EN⊥FD，FL⊥DE.

因此，DM、EN、FL三线共点于△DEF的垂心.

于是，.

又由正弦定理知.

类似地，.

则.

由角元塞瓦定理的逆定理得AX、BY、CZ三线共点.