【题目】设x,y,z为非零实数,满足xy+yz+zx=1,证明:.
【答案】不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。
【解析】
试题为使所证式有意义,三数中至多有一个为0;据对称性,不妨设,则;
、当时,条件式成为,,,而
,
只要证,,即,也即,此为显然;取等号当且仅当.
、再证,对所有满足的非负实数,皆有
.显然,三数中至多有一个为0,据对称性,
仍设,则,令,为锐角,以为内角,构作,则 ,于是,且由知,;于是,即是一个非钝角三角形.
下面采用调整法,对于任一个以为最大角的非钝角三角形,固定最大角,将调整为以为顶角的等腰,其中,且设,记,据知,
.今证明,.即
……①.
即要证……②
先证……③,即证,
即,此即,也即
,即,此为显然.
由于在中,,则;而在中,
,因此②式成为
……④,
只要证,……⑤,即证,注意③式以及
,只要证,即,也即…⑥
由于最大角满足:,而,则,所以
,故⑥成立,因此⑤得证,由③及⑤得④成立,从而①成立,即,因此本题得证.
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【题目】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动,求:
(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
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【题目】如图,△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F,AD与BE交于点P,设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明:AX、BY、CZ三线共点.
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【题目】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位:)数据,绘制如下折线图:
那么,下列叙述错误的是( )
A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B. 全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C. 全年中各月最低气温平均值不高于的月份有5个
D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
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【题目】若非负整数m、n在求和时恰进位一次(十进制下),则称有序数对(m、n)为“好的”,那么,所有和为2014的好的有序数对的个数为__________。
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【题目】椭圆的离心率是,过点做斜率为的直线,椭圆与直线交于两点,当直线垂直于轴时.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当变化时,在轴上是否存在点,使得是以为底的等腰三角形,若存在求出的取值范围,若不存在说明理由.
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