Question

【题目】已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；

（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.

解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：

，，

所以，，

由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且

进而，故轨迹方程为：．

（2）当直线斜率不存在时，，或，/span>，

此时弦长．

当直线斜率存在时，设的方程为：，

由 消去得：，

由△ 恒成立，

设、，可得：

，，

，

令8，则，

，，

．

综上，弦长的最大值为．