Question

【题目】如图，设L、M、N分别为的∠BAC、∠ CBA、∠ ACB内的点，且∠BAL=∠ ACL，∠ LBA=∠ LAC，∠ CBM=∠ BAM，∠ MCB=∠ MBA，∠ ACN=∠ CBN，∠ NAC=∠ NCB.

证明：（1） AL、BM、CN三线交于一点P；

（2）L、M、N、P四点共圆.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）如图，设AL与BC交于点D，BM与CA交于点E，CN与AB交于点F.

由∠BAL=∠ACL，∠ABL=∠CAL，得.

由∠BLD=∠BAL+∠LBA=∠ACL+∠LAC=∠DLC

即LD平分∠BLC，得.

类似地，，.

故.

由塞瓦定理，知AD、BE、CF三线共点，即AL、BM、CN三线共点，记交点为P.

（2）如图，记的外心为O.注意到，∠BAC=∠ACL，∠LBA=∠LAC

则.

于是，B、O、L、C四点共圆，即点O在的外接圆上.

因为AD平分∠BLC，所以，直线AD与BC的垂直平分线的交点为的外接圆的弧（不含点L）的中点K.

故OK为外接圆的直径，，即∠OLP=90°.

类似地，∠OMP=90°，∠ONP=90°.

因此，点L、M、N均在以OP为直径的圆上，L、M、N、P四点共圆.