Question

【题目】椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析。

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．

（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，

所以，整理得．

故椭圆的方程为．

由已知得椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意得直线的方程为．

由消去整理得，

其中．

设，的中点

则，

所以

∴，

∴点C的坐标为．

假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，

则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．

①当时，则过点且与垂直的直线方程，

令，则得．

若，则，

∴．

若，则，

∴．

②当时，则有．

综上可得．

所以存在点满足条件,且m的取值范围是.