Question

【题目】设表示k个数字均为1的十进制数(如=1，=111)，定义。

（1）对于任意正整数m、n，令，写出一个关于f(m,n)的递推关系式，并证明之；

（2）证明：对于任意正整数m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1） 补充定义{O}!=1.

对于正整数m、n有

=.

（2） 对任意正整数n有.

当m、n为大于或等于2的正整数时，对m+n进行归纳证明f(m,n)为整数.

当m+n=4时，.

假设当m+n=k(h≥4)时，f(m,n)为整数.

则当m+n=k+1时，由(1)知.

由数学归纳法原理，知对于任意的正整数m、n，有f(m,n)为整数.

于是，{m+n}!均可被{m}!.{n}!整除.