【题目】椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1 , F2在x轴上,离心率e= .
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
【答案】
(1)解:设椭圆E的方程为
由e=
,得
,b2=a2﹣c2=3c2,∴
将A(2,3)代入,有 ,解得:c=2,
∴椭圆E的方程为
(2)解:由(1)知F1(﹣2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为y= (x+2),
即3x﹣4y+6=0,直线AF2的方程为x=2,由椭圆E的图形知,∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数
设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,则有 =|x﹣2|
若3x﹣4y+6=5x﹣10,得x+2y﹣8=0,其斜率为负,不合题意,舍去.
于是3x﹣4y+6=10﹣5x,即2x﹣y﹣1=0.
所以,∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x﹣y﹣1=0
【解析】(1)设椭圆方程为 ,把点A(2,3)代入椭圆方程,把离心率e=
用a,c表示,再根据b2=a2﹣c2 , 求出a2 , b2 , 得椭圆方程;(2)可以设直线l上任一点坐标为(x,y),根据角平分线上的点到角两边距离相等得
=|x﹣2|.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
即可以解答此题.
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【题目】设双曲线 的两个焦点分别为F1、F2离心率e=2.
(1)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;
(2)若A、B分别为l1、l2上的点,且 求线段AB的中点M的轨迹方程.
(3)过点N(1,0)能否作直线l , 使l与双曲线交于不同两点P、Q.且 ,若存在,求直线l的方程,若不存在,说明理由.
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【题目】已知数列{bn}是首项b1=1,b4=10的等差数列,设bn+2=3 an(n∈n*).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)记cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)记dn=(3n+1)Sn , 若对任意正整数n,不等式 +
+…+
>
恒成立,求整数m的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|log0.5x|,若正实数m,n(m<n)满足f(m)=f(n),且f(x)在区间[m2 , n]上的最大值为4,则n﹣m=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数 ,则f(x)是( )
A.周期为π,图象关于点 对称的函数
B.最大值为2,图象关于点 对称的函数
C.周期为2π,图象关于点 对称的函数
D.最大值为2,图象关于直线 对称的函数
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【题目】某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )
A.9
B.18
C.27
D.36
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【题目】一个盒子中装有4张卡片,每张卡片上写有1个数字,数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若一次从中随机抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率;
(2)若随机抽取1张卡片,放回后再随机抽取1张卡片,求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率.
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【题目】为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中,从男生中随机抽取了70人,从女生中随机抽取了50人,男生中喜欢数学课程的占,女生中喜欢数学课程的占
,得到如下列联表.
喜欢数学课程 | 不喜欢数学课程 | 合计 | ||||||||
男生 | ||||||||||
女生 | ||||||||||
合计 | ||||||||||
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | ||||
(1)请将列联表补充完整;试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关;
(2)从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法,随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人,若所选2名学生中的女生人数为,求
的分布列及数学期望.
附:,其中
.
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