Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C1：p=1．
（1）若直线l与曲线C1相交于点A，B，点M（1，1），证明：|MA||MB|为定值；
（2）将曲线C1上的任意点（x，y）作伸缩变换 后，得到曲线C2上的点（x'，y'），求曲线C2的内接矩形ABCD周长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵曲线C1：p=1，∴曲线C1：x2+y2=1．

联立 ，得t2+2t（cosα+sinα）+1=0，

∴|MA||MB|=|t1t2|=1．

（2）解：将曲线C1上的任意点（x，y）作伸缩变换 ，

伸缩变换后得C2： ．

其参数方程为： ．

不妨设点A（m，n）在第一象限，

由对称性知：周长为 = ，（ 时取等号），

∴曲线C2的内接矩形ABCD周长的最大值为8．

【解析】（1）求出曲线C1：x2+y2=1．直线l的参数方程代入，得t2+2t（cosα+sinα）+1=0，由此能证明|MA||MB|为定值．（2）将曲线C1上的任意点（x，y）伸缩变换后得C2： ．由此能求出曲线C2的内接矩形ABCD周长的最大值．