Question

已知函数f（x）=x²-6x+4lnx+a（0＜x≤6）．
（1）求函数的单调区间；
（2）a为何值时，方程f（x）=0有三个不同的实根．

Answer 1

分析：（1）求导得：f′(x)=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

令f^′（x）＞0和f^′（x）＜0再结合0＜x≤6即可求解．
（2）可分析出当x→+∞时f（x）→+∞并且x→0时f（x）→-∞而f（x）在（0，1）递增（1，2）递减（2，6）递增故要使方程f（x）=0有三个不同的实根只需f（x）的极大值大于0同时极小值小于0即可．

解答：解：（1）f′(x)=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

，则

x	x∈（0，1）	x=1	x∈（1，2）	x=2	x∈（2，6]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以函数的单调递增区间为（0，1）和（2，6]，单调递减区间为[，2]．
（2）由（1）可知即y=f（x）的图象与x轴有3个不同的交点
又知当x趋近于0时，f（x）趋近于-∞，
数形结合得f（1）=a-5＞0且f（2）=-8+4ln2+a＜0，
所以5＜a＜8-4ln2

点评：本题第一问主要考查了求函数的单调区间，关键是求导函数f^′（x）再令f^′（x）≥0，f^′（x）≤0再结合0＜x≤6求出x的取值范围写成区间即可但要注意单调区间不能用∪连接．第二问主要考查了根的分布问题，关键是利用函数的单调性再结合极限思想转化为极大极小值大于小于0的问题．