在平面直角坐标系中,已知点,是动点,且的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若是轨迹上异于点的一个点,且,直线与交于点,问:是否存在点,使得和的面积满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
(1)(且),(2)
【解析】
试题分析:(1)点的轨迹的方程,就是找出点横坐标与纵坐标的关系式,而条件中只有点为未知,可直接利用斜率公式化简,得点的轨迹的方程为,求出轨迹的方程后需结合变形过程及观察图像进行去杂,本题中分母不为零是限制条件,(2)本题难点在于对条件的转化,首先条件说明的是,其次条件揭示的是,两者结合转化为条件,到此原题就转化为:已知斜率为的过点直线被抛物线截得弦长为,求点的坐标.
试题解析:
(1)设点为所求轨迹上的任意一点,则由得,
,整理得轨迹的方程为(且). 3分
(2):学设由可知直线,
则,故,即, 5分
直线OP方程为: ①;直线QA的斜率为:,
∴直线QA方程为:,即 ②
联立①②,得,∴点M的横坐标为定值. 8分
由,得到,因为,所以,
由,得,∴的坐标为.
∴存在点P满足,的坐标为. 10分
考点:轨迹方程,直线与抛物线位置关系
科目:高中数学 来源: 题型:
π | 3 |
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