Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．PD=AD
（1）求二面角A-PB-C的余弦值；
（2）求点D到平面PAB的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）令AD=1，则AB=2因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

，可得∠ADB=90°，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可；
（2）由（1）知平面PAB的法向量为

n1

=（

3

，1，

3

），利用距离公式，即可求点D到平面PAB的距离．

解答： 解：（1）令AD=1，则AB=2．
又∠DAB=60°，由余弦定理知BD=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

所以AD²+BD²=AB²，即∠ADB=90°
建立如图坐标系
则A（1，0，0）、P（0，0，1）、B（0，

3

，0）、C（-1，

3

，0）
设平面PAB的法向量为

n1

=（x，y，z），
∵

PA

=（1，0，-1），

PB

=（0，

3

，-1），
∴

x-z=0 3 y-z=0

，∴取

n1

=（

3

，1，

3

）
同理平面PCB的法向量为

n2

=（0，1，

3

）
cos＜

n1

，

n2

＞=

1+3

2 7

=

2 7

7

记二面角A-PB-C的夹角为α，如图可知α为钝角
∴cosα=-

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的余弦值为-

2 7

7

；
（2）由（1）知平面PAB的法向量为

n1

=（

3

，1，

3

）
∴

n0

=（

3

7

，

1

7

，

3

7

）
又D（0，0，0），∴

DP

=（0，0，1）
∴D到平面PAB的距离d=|

DP

•

n0

|=

3

7

=

21

7

点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．