Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过F的直线交椭圆与A，B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则a+b的值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件可判断出过F的直线存在斜率，并设为k，直线方程便是：y=k（x-3），带入椭圆方程并整理得到(

1

a2

+

k2

b2

)x2-

6k2

b2

x+

9k2

b2

-1=0，根据条件可设A（x₁，k（x₁-3）），B（x₂，k（x₂-3）），根据韦达定理及AB的中点为（1，-1）即可求出a²=2b²，而根据焦点（3，0）即可求得b=3，a=3

2

，所以得到a+b=3

2

+3．

解答： 解：根据已知条件可知，过F的直线存在斜率，设为k，则该直线方程为：y=k（x-3），带入椭圆方程并整理得：
(

1

a2

+

k2

b2

)x2-

6k2

b2

x+

9k2

b2

-1=0；
若设A（x₁，k（x₁-3）），B（x₂，k（x₂-3）），又AB中点为（1，-1）；
∴x1+x2=

6k2 b2

1 a2 + k2 b2

=2，①，k（x₁+x₂-6）=-4k=-2；
∴k=

1

2

，带入①并整理可得a²=2b²；
∴a²-b²=b²=9；
∴b=3，a=3

2

；
∴a+b=3

2

+3．
故答案为：3

2

+3．

点评：考查椭圆的对称性，直线的点斜式方程，韦达定理，以及椭圆的焦点及a²-b²=c²．