Question

已知f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及此时x的值的集合；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的值域确定出f（x）的最大值，以及此时x的值即可．
（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间求此函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（1）知f（x）的最大值M=

2

+1，
当f（x）=

2

+1时，sin（2x-

π

4

）=1，
∴2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+3

π

8

，k∈Z，
则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+3

π

8

，k∈Z}．
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．
∴函数的递减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的最值的求法，熟练掌握公式是解本题的关键．