Question

11．已知函数$f（x）=[2sin（x+\frac{π}{3}）+sinx]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x，x∈R$．
（1）求函数f（x）的最小周期；
（2）若存在${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$，使不等式f（x₀）＜m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数函数f（x）的解析式为2sin（2x+$\frac{π}{3}$），从而求出它的最小正周期．
（2）根据${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$，可得 sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x₀）的值域为[-1，2]，若存在${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$使不等式f（x₀）＜m成立，m需大于f（x₀）的最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=[2sin（x+\frac{π}{3}）+sinx]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x，x∈R$
=[2sinx+$\sqrt{3}$cosx]cosx-$\frac{\sqrt{3}（1-cos2x）}{2}$
=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴函数f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$，
∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x₀）的值域为[-1，2]．
∵存在${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$，使f（x）＜m成立，
∴m＞-1，
故实数m的取值范围为（-1，+∞）．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域，注意理解“存在${x_0}∈[0，\frac{5π}{12}]$，使不等式f（x₀）＜m成立，”的意义，属于中档题．