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已知函数f(x)=
1
1+x2

(1)求证:函数f(x)在(-∞,0]上是增函数.
(2)求函数f(x)=
1
1+x2
在[-3,2]上的最大值与最小值.
(1)证明:设x1<x2≤0,则f(
x1
)-f(x2)=
(x2+x1)(x2-x1)
(1+
x21
)(1+
x22
)

因x1<x2<0,有x1+x2<0,x2-x1>0,又(1+x12)(1+x22)>0
所以
(x2+x1)(x2-x1)
(1+
x21
)(1+
x22
)
<0
,得f(x1)-f(x2)<0
故f(x)为(-∞,0]上的增函数.
(2)因为函数f(x)定义域为R,且f(-x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数
又f(x)在(-∞,0]上为增函数,
所以f(x)在[0,+∞)上为减函数
所以函数的最大值为f(0)=1.
又当x=-3时,f(-3)=
1
10
,当x=2时,f(2)=
1
5

故函数的最小值为f(-3)=
1
10
练习册系列答案
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1
x
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1
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1
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4
5
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3
4
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4
3

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2
x
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1
2
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4
x-1
(x>1)
的最小值是(  )
A.4B.5C.6D.7

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