Question

已知f（x）=log

1

2

x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设Hn(x)=2gn(x)，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求实数a，b的值．

Answer 1

（1）由

y=f(x) ny=gn(x-2)

，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog

1

2

x，
所以gn(x)=nlog

1

2

(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log

1

2

(x+2)=2log

1

2

(x+a)，
即

x+2

=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+

x+2

，令t=

x+2

＞0，
所以a=-t2+t+2≤

9

4

，
当x=-

7

4

时，a=

9

4

．
即实数a的取值范围是(-∞，

9

4

]（10分）
（3）因为Hn(x)=2nlog

1

2

(x+2)=

1

(x+2)n

，
所以F(x)=

1

x+2

+log

1

2

(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是减函数．（12分）
所以

F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

即

1 a+2 +log 1 2 (a+2)=log2 4 2 a+2 1 b+2 +log 1 2 (b+2)=log2 5 2 b+2

，
所以

a=2 b=3

（16分）