Question

20．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1a_n=n+1（n∈N^*）．
（1）试比较a₄-a₂与a₃-a₁的大小，并说明理由；
（2）求证：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2（$\sqrt{n+1}$-1）

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、a_n+1a_n=n+1，分别计算出a₂、a₃、a₄的值，即可比较大小；
（2）当n=1时代入验证；当n≥2时，通过a_n•（a_n+1-a_n-1）=1可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n-1，求和后利用基本不等式即可．

解答 （1）解：∵a₁=1，a_n+1a_n=n+1，
∴a₂=2，a₃=$\frac{3}{2}$，a₄=$\frac{8}{3}$，
∴a₄-a₂=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$，a₃-a₁=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
∴a₄-a₂＞a₃-a₁；
（2）证明：当n≥2时，有a_na_n-1=n，
∴a_n•（a_n+1-a_n-1）=1，
即$\frac{1}{{a}_{2}}$=a₃-a₁，$\frac{1}{{a}_{3}}$=a₄-a₂，…，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=a_n-a_n-2，$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n-1，
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₃-a₁+a₄-a₂+…+a_n-a_n-2+a_n+1-a_n-1
=$\frac{1}{{a}_{1}}$+a_n+1+a_n-a₂-a₁
=a_n+1+a_n-2
≥$2\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$-2
=2（$\sqrt{n+1}$-1）；
经检验知当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＞2（$\sqrt{2}$-1），
综上所述，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2（$\sqrt{n+1}$-1）．

点评 本题考查数列的递推公式，基本不等式等知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．