Question

（2012•江门一模）已知函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）-

3

cos（ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（

7π

12

）的值；
（2）若△ABC满足f（C）+f（B-A）=2f（A），证明：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用函数的表达式通过两角和与差的正弦函数，化简后，利用周期求出ω，然后求解f（

7π

12

）的值．
（2）通过f（C）+f（B-A）=2f（A），得到A、B、C的三角函数关系式，利用三角形的内角和以及两角和与差的正弦函数化简，得到A与B的三角函数的值，求出角，判定三角形的形状．

解答：解：（1）函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）-

3

cos（ωx+

π

3

）=2sinωx…（2分）（振幅（1分），角度1分），
T=

2π

ω

=π…（3分），ω=2…（4分），
所以f（

7π

12

）=2sin

7π

6

=-1．…（6分）．
（2）由f（C）+f（B-A）=2f（A），得sin2C+sin（2B-2A）=2sin2A…（7分），
-sin（2A+2B）+sin（2B-2A）=2sin2A…（8分），
得cos²Bsin2A=0…（9分），
所以cosB=0或sin2A=0…（10分），
因为0＜A，B＜π，所以B=

π

2

或A=

π

2

，
∴△ABC是直角三角形…（12分）．

点评：本题考查两角和与差的三角函数的化简与应用，三角函数求值，内角和定理的应用，考查计算能力．