Question

在三棱锥S-ABC中，如图，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，
BC=

13

，SB=

29

．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小；
（3）（理）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．
（文）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

（1）证明：如图，
∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥底面ACB
又∵BC?底面ACB
∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SA∩AC=A
∴BC⊥面ASC
又∵SC?面ASC
∴SC⊥BC
（2）∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SC⊥BC
∴∠SCA即为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ACB中，AC=2，BC=

13

，∴AB=

17

在Rt△SAB中，AB=

17

，SB=

29

，∴SA=2

3

在Rt△SAC中，SA=2

3

，AC=2，∴∠SCA=60°，
即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°
（3）
（理）分别取AC、SB、CB、SC的中点D、E、F、M，连接DE、EF、DF、ME、MD，则：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，
所以异面直线SC与AB所成的角的大小即为∠EFD的大小．
∵ME∥CB，BC⊥面ASC
∴ME⊥面ASC
∴ME⊥MD，又ME=

13

2

，MD=

3

，则ED=

5

2

又∵EF=2，DF=

17

2

∴cos∠EFD=

EF2+DF2-ED2

2EF•DF

=

17

17

∴异面直线SC与AB所成的角的大小为arccos

17

17

．
（文）∵S△ACB=

1

2

AC•BC=

13

，SA=2

3

，
∴V_S-ABC=

1

3

•

13

•2

3

=

2 39

3

．