Question

5．在△ABC中，已知 $sinA+cosA=\frac{1}{5}$．
（1）判断△ABC是锐角还是钝角三角形；
（2）求tanA．

Answer 1

分析 （1）把$sinA+cosA=\frac{1}{5}$两边平方，得1+2sinA•cosA=$\frac{1}{25}$，从而sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$．进而A为钝角，由此得到△ABC是钝角三角形．
（2）由sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$，sin²A+cos²A=1，求出sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，由此能求出tanA．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$sinA+cosA=\frac{1}{5}$，
∴两边平方可得1+2sinA•cosA=$\frac{1}{25}$，
∴sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$．
∵0＜A＜π，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
（2）∵sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$，
又sin²A+cos²A=1，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查三角形形状的判断，考查三角形的角的正切值的求法，考查同角三角函数关系式、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．