Question

14．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x+1}，x＞2}\\{-x+3，x≤2}\end{array}\right.$，若f（a+2）=f（a），则f（$\frac{1}{a}$）=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 当a＞2时，$\sqrt{a+3}=\sqrt{a+1}$；当0＜a≤2时，$\sqrt{a+3}=-a+3$；当a≤0时，-a+1=-a+3．由此先求出a，从而能求出f（$\frac{1}{a}$）．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x+1}，x＞2}\\{-x+3，x≤2}\end{array}\right.$，f（a+2）=f（a），
当a＞2时，f（a+2）=$\sqrt{a+3}$，f（a）=$\sqrt{a+1}$，
∴$\sqrt{a+3}=\sqrt{a+1}$，无解；
当0＜a≤2时，$f（a+2）=\sqrt{a+3}$，f（a）=-a+3，
∴$\sqrt{a+3}=-a+3$，解得a=1或a=6（舍），
∴$f（\frac{1}{a}）$=f（1）=-1+3=2．
当a≤0时，f（a+2）=-a+1，f（a）=-a+3，
-a+1=-a+3，无解．
综上，$f（\frac{1}{a}）=2$．
故选：C．

点评 本题考函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、分类讨论与整合思想，是基础题．