Question

2．在△ABC所在平面上有一点P，满足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}$，则△APC与△ABC的面积比为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 将条件等价转化，化为即$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量加减法的三角形法则可得到3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CB}$，得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{PC}$+（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{AB}$）+（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{0}$，
即3$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
即3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{BC}$ 并且方向一样，|BC|=3|AP|，
如果AP和AC夹角为θ，那么BC和AC的夹角也是θ，
S_△APC=$\frac{1}{2}$|AP|•|AC|sinθ，
S△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•|AC|sinθ，
所以S_△PAC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
故选：B．

点评 本题考查向量在几何中的应用、向量的加减法及其几何意义，体现了等价转化的数学思想．