Question

13．函数f（x）=a^x-1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx-ny-1=0上，其中m＞0，n＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 7
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+n）=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：当x-1=0即x=1时，a^x-1-2恒等于-1，
故函数f（x）=a^x-1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，-1），
由点A在直线mx-ny-1=0上可得m+n=1，
由m＞0，n＞0可得（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（m+n）
=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{2m}{n}$即m=$\sqrt{2}$-1且n=2-$\sqrt{2}$时取等号；
故选D．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，根据已知条件对所求变形为基本不等式的形式是关键．