Question

11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象连续不断，对任意0＜x₁＜x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，且f（2）=1，则不等式-3≤f（x）+x≤0的解集为[-2，0]．

Answer 1

分析 根据题意，设g（x）=f（x）+x，由函数的奇偶性的性质分析可得函数g（x）为R上的奇函数，又由有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$分析可得$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，即可得函数g（x）=f（x）+x在区间（0，+∞）为增函数，结合函数的奇偶性可得g（x）在（-∞，0）为增函数；进而分析可得g（-2）=-3，g（0）=0，则等式-3≤f（x）+x≤0可以转化为g（-2）≤g（x）≤g（0），结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，设g（x）=f（x）+x，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），
则有g（-x）=f（-x）+（-x）=-f（x）-x=-[f（x）+x]=-g（x），即函数g（x）为R上的奇函数，
则有g（0）=0；
又由对任意0＜x₁＜x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-1$，
即$\frac{[f（{x}_{1}）+{x}_{1}]-[f（{x}_{2}）+{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
则函数g（x）=f（x）+x在区间（0，+∞）为增函数，
又由函数g（x）为R上的奇函数，则g（x）在（-∞，0）为增函数，
又由f（2）=1，则f（-2）=-1，g（-2）=f（-2）+（-2）=-3；
不等式-3≤f（x）+x≤0?g（-2）≤g（x）≤g（0），
则有-2≤x≤0，
即不等式-3≤f（x）+x≤0的解集为[-2，0]；
故答案为：[-2，0]．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式．