Question

（2012•武汉模拟）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且∠AFB=

π

2

，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则

|MN|

|AB|

的最大值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  3

  2

• C．1
• D．

  3

Answer 1

分析：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|²=a²+b²，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案．

解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，
得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得，|AB|²=a²+b²配方得，|AB|²=（a+b）²-2ab，
又ab≤(

a+b

2

) 2，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-

(a+b)2

2

得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b )

2 (a+b) 2

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

2

2

．
故选A．

点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．