Question

6．已知数列{a_n}满足a_n=n²+n，设b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+$\frac{1}{6}$＞b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，由此利用裂项求和法能求出{b_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$，n∈N^*，得到n=1时，b_n取最大值$\frac{1}{6}$，推导出当m∈[-1，1]时，t²-2mt＞0恒成立，令g（m）=t²-2mt，由$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={t}^{2}-2t＞0}\\{g（-1）={t}^{2}+2t＞0}\end{array}\right.$，能求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n=n²+n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+\frac{1}{2n（2n+1）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{n}{2{n}^{2}+3n+1}$
=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$．
（2）∵b_n=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$，n∈N^*，
令f（n）=2n+$\frac{1}{n}+3$，n∈N^*，则${f}^{'}（n）=2-\frac{1}{{n}^{2}}$，
由f′（n）＞0，得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜n＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由f′（n）＜0，得n＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或n＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵n∈N^*，∴n=1时，b_n取最大值$\frac{1}{6}$，
∵对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+$\frac{1}{6}$＞b_n恒成立，
∴当m∈[-1，1]时，不等式${t}^{2}-2mt+\frac{1}{6}$＞$\frac{1}{6}$恒成立，
即当m∈[-1，1]时，t²-2mt＞0恒成立，
令g（m）=t²-2mt，则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={t}^{2}-2t＞0}\\{g（-1）={t}^{2}+2t＞0}\end{array}\right.$，
解得t＞2或t＜-2．
∴实数t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的取值范围的求法，考查构造法、裂项求法、数列的单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．