Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)

【解析】试题分析：（1）函数的定义域为..对a分类讨论，明确函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可.

试题解析：

（1）函数的定义域为.

.

①时， ，故在区间上单调递增；

②当时，令，得，

令，得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（2）当时，由（1)，知函数在区间上单调递增，

所以，所以恒成立，即符合题意.

法一:当时，令，

解得： ，

令，解得.

①当时， ，

所以结合（1），知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且 .

令，

恒成立，

又，

所以在区间上单调递增，

所以存在，使得，

即存在，使得，

即当时，不符合题意.

②当时， ，

即在区间上恒成立，

所以函数在区间上单调递减，

所以，

显然不符合题意.

综上所述，实数的取值范围为.

法二：当时，令，

，

所以，取，

故在上， ，

不合题意，舍去.

综上所述，实数的取值范围为.