Question

已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，且两根分别为x₁、x₂，
（1）求证：x₁+x₂+x₁•x₂的值为定值，并写出这个定值；
（2）求（x₁+x₂）•x₁•x₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，易求出x₁+x₂+x₁•x₂的值为定值
（2）由关于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，可得△≥0，进而求出m的取值范围，由韦达定理求出（x₁+x₂）•x₁•x₂的表达式后，分析其单调性，进而可得其最大值．

解答：解：（1）由韦达定理知x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=2m+3--------（2分）
∴x₁+x₂+x₁•x₂=3为定值--------（1分）
（2）（x₁+x₂）•x₁•x₂=-2m•（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
∵关于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，
∴△=4m²-4（2m+3）≥0
即m²-2m-3≥0
解得m≤-1，或m≥3--------（2分）
又∵（x₁+x₂）•x₁•x₂=-2m•（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
在m≤-1时为增函数，m=-1时最大值为2，---（2分）
在m≥3时为减函数，m=3时最大值为-54，
∴（x₁+x₂）•x₁•x₂的最大值为2--------（2分）

点评：本题考查的知识点是韦达定理，函数的最值，熟练掌握韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）是解答的关键．