Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k）．
（1）当x=$\frac{π}{4}$时，求|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|；
（2）若g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，求当k为何值时，g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得当x=$\frac{π}{4}$时，$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k），$\overrightarrow{c}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-k），再由向量的加法运算和模的公式，计算即可得到所求值；
（2）利用平面向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，代入g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，整理后令t=sinx-cosx换元，化为关于t的函数，然后分类讨论求解使g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$的k值．

解答 解：（1）当x=$\frac{π}{4}$时，$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k），$\overrightarrow{c}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-k），
可得$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2sinx，k+cosx），
g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=-4sinxcosx+（k+cosx）（sinx-k）
=-3sinxcosx+k（sinx-cosx）-k²，
令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
则t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
且t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴g（x）=h（t）=-3•$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+kt-k²=$\frac{3}{2}$t²+kt-$\frac{3}{2}$-k²．
对称轴为：t=-$\frac{k}{3}$，
①当-$\frac{k}{3}$＜-$\sqrt{2}$，即k＞3$\sqrt{2}$时，[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]为增区间，
g（x）的最小值为h（-$\sqrt{2}$）=-3•（-$\frac{1}{2}$）-$\sqrt{2}$k-k²=-$\frac{3}{2}$，
解得k=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{14}}{2}$
∵k＞3$\sqrt{2}$，∴此时无解；
②当-$\sqrt{2}$≤-$\frac{k}{3}$≤$\sqrt{2}$，即-3$\sqrt{2}$≤k≤3$\sqrt{2}$时，
g（x）的最小值为h（-$\frac{k}{3}$）=$\frac{-9-6{k}^{2}-{k}^{2}}{6}$=-$\frac{3}{2}$，
得k=0∈[-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]；
③当-$\frac{k}{3}$＞$\sqrt{2}$，即k＜-3$\sqrt{2}$时，区间[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]为减区间，
g（x）的最小值为h（$\sqrt{2}$）=3+$\sqrt{2}$k-$\frac{3}{2}$-k²=-$\frac{3}{2}$，解得k=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{14}}{2}$，
∵k＜-3$\sqrt{2}$，∴此时无解．
综上所述得：当k=0时，g（x）的最小值为-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示和向量模的求法，考查三角函数的图象和性质，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．