Question

已知O为原点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）上任意两点，向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

⊥

q

，椭圆的离心率e=

3

2

，求△AOB的面积是否为定值？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出a=2，且

c

a

=

3

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由已知条件推导出x1x2+

y1y2

4

=0，设直线AB方程为：y=kx+m，联立x2+

y2

4

=1，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出三角形AOB的面积为定值1．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）的离心率e=

3

2

，
∴a=2，且

c

a

=

3

2

，
解得a=2，c=

3

，m=1，
∴椭圆C的标准方程为x2+

y2

4

=1．（5分）
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
是椭圆C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）上任意两点，
向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

⊥

q

，
∴x1x2+

y1y2

4

=0，（6分）
当直线AB斜率存在时，
设直线AB方程为：y=kx+m，联立x2+

y2

4

=1，
消去y得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴△=4k²m²-4（4+k²）（m²-4）＞0，
x1+x2=-

2km

4+k2

，x1x2=

m2-4

4+k2

，
∴4x₁x₂+y₁y₂=4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（4+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（4+k²）（

m2-4

4+k2

）+（km）（-

2km

4+k2

）+m²=0，
化简得2m²-k²-4=0，（8分）
S△ADB=

1

2

|-

m

k

|•|y1-y2|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

(- 2km 4+k2 )2-4• m2-4 4+k2

=

1

2

|m|

4k2m2-4(m2-4)(4+k2) (4+k2)2

=

1

2

|m|

4k2m2-16m2-4k2m2+16k2+64 (4+k2)2

=

1

2

|m|

4 k2-m2+4

4+k2

=

1

2

|m|

4 2m2-m2

2m2

=1．（10分）
当直线AB斜率不存在时，
设直线AB方程为：x=t，（-1＜t＜1），
联立椭圆x2+

y2

4

=1，解得y=±2

1-t2

，
不妨设A（t，2

1-t2

），B（t，-2

1-t2

），
代入4x₁x₂+y₁y₂=0，得t2=

1

2

，t=±

2

2

，
此时S_△ADE=

1

2

•

2

2

•2

2

=1，
综上，三角形AOB的面积为定值1．（12分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．